Шпаргалка: ключевые формулы ядерной физики

Для решения задач по ядерной физике необходимо владеть законом радиоактивного распада ($N = N_0 2^{-t/T}$), формулой дефекта массы ($\Delta m = Z m_p + (A-Z)m_n - M_{ядра}$) и расчетом энергии связи ($E_{св} = \Delta m c^2$). Также критически важны правила сохранения зарядового ($Z$) и массового ($A$) чисел в реакциях и понятие энергетического выхода $Q$. Ниже приведена систематизированная подборка формул с пояснениями для их практического применения.

Строение ядра и энергия связи

Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, которые вместе называются нуклонами. Ключевые характеристики ядра описываются через его состав и энергию, удерживающую нуклоны вместе.

Основные обозначения

• $Z$ — зарядовое число (число протонов).
• $A$ — массовое число (общее число нуклонов: $A = Z + N$).
• $N$ — число нейтронов ($N = A - Z$).
• $m_p$ — масса протона ($\approx 1.00728$ а.е.м. или $938.3$ МэВ/$c^2$).
• $m_n$ — масса нейтрона ($\approx 1.00866$ а.е.м. или $939.6$ МэВ/$c^2$).
• $M_{ядра}$ — масса ядра.

Дефект массы и энергия связи

Масса ядра всегда меньше суммы масс входящих в него свободных нуклонов. Эта разница называется дефектом массы.

$$ \Delta m = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M_{ядра} $$

Энергия связи ($E_{св}$) — это энергия, которую нужно затратить, чтобы разложить ядро на отдельные нуклоны. Она рассчитывается по формуле Эйнштейна:

$$ E_{св} = \Delta m \cdot c^2 $$

Для удобства расчетов часто используют переводной коэффициент: 1 а.е.м. $\approx 931.5$ МэВ. Тогда: $$ E_{св} (\text{МэВ}) = \Delta m (\text{а.е.м.}) \cdot 931.5 $$

Удельная энергия связи ($\varepsilon$) показывает стабильность ядра: $$ \varepsilon = \frac{E_{св}}{A} $$

Радиоактивный распад

Распад — статистический процесс. Для большого числа ядер справедлив экспоненциальный закон.

Закон радиоактивного распада

Количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$:

$$ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Где:

• $N_0$ — начальное количество ядер.
• $\lambda$ — постоянная распада (вероятность распада ядра в единицу времени).
• $T_{1/2}$ — период полураспада (время, за которое распадается половина ядер).

Связь между постоянной распада и периодом полураспада: $$ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}} $$

Активность источника

Активность ($A$) — это число распадов в единицу времени: $$ A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N $$ Единица измерения в СИ — Беккерель (Бк), $1 \text{ Бк} = 1 \text{ распад/с}$. Внесистемная единица — Кюри (Ки), $1 \text{ Ки} = 3.7 \cdot 10^{10} \text{ Бк}$.

Ядерные реакции и кинематика

Ядерная реакция записывается в виде: $$ ^{A_1}{Z_1}X + ^{A_2}{Z_2}a \rightarrow ^{A_3}{Z_3}Y + ^{A_4}{Z_4}b $$

Законы сохранения

При решении задач всегда проверяйте два главных закона:

1. Сохранение зарядового числа: $Z_1 + Z_2 = Z_3 + Z_4$
2. Сохранение массового числа: $A_1 + A_2 = A_3 + A_4$

Энергетический выход реакции (Q)

Энергетический выход $Q$ показывает, выделяется или поглощается энергия в реакции.

$$ Q = (M_{исх} - M_{кон}) \cdot c^2 $$ или через кинетические энергии ($E_k$): $$ Q = E_{k, кон} - E_{k, исх} $$

• Если $Q > 0$: реакция экзотермическая (идет с выделением энергии).
• Если $Q < 0$: реакция эндотермическая (требует затрат энергии).

Пороговая энергия

Для эндотермических реакций ($Q < 0$) налетающая частица должна обладать минимальной (пороговой) кинетической энергией $E_{пор}$ в лабораторной системе отсчета (когда мишень покоится):

$$ E_{пор} = |Q| \cdot \frac{m_a + M_X}{M_X} $$ где $m_a$ — масса налетающей частицы, $M_X$ — масса ядра-мишени.

Сечение взаимодействия и активность

Вероятность протекания ядерной реакции характеризуют эффективным поперечным сечением ($\sigma$).

Определение сечения

Если пучок частиц с интенсивностью $I_0$ (частиц/см²·с) падает на мишень толщиной $dx$ с концентрацией ядер $n$, то число актов реакции $dN$ в единицу времени:

$$ dN = I_0 \cdot n \cdot \sigma \cdot dx $$

Единица измерения сечения: барн (б). $$ 1 \text{ барн} = 10^{-24} \text{ см}^2 = 10^{-28} \text{ м}^2 $$

Ослабление пучка

Интенсивность пучка, проходящего через вещество толщиной $x$, ослабевает по закону: $$ I(x) = I_0 \cdot e^{-n \sigma x} $$ где $n$ — концентрация ядер мишени.

Сравнение типовых расчетных задач

Частые ошибки при решении

1. Использование массы атома вместо массы ядра. В таблицах обычно приведены массы нейтральных атомов. При расчете дефекта массы через атомные массы нужно учитывать массы электронов. Однако, если в реакции сохраняется суммарное число электронов (что бывает чаще всего в $\alpha$- и $\beta^-$-распадах при использовании атомных масс), массы электронов сокращаются.

   • Исключение: Позитронный распад ($\beta^+$). Там нужно вычитать $2m_e$ из разности масс атомов.

2. Путаница в единицах измерения. Часто смешивают килограммы, а.е.м. и МэВ.

   • Совет: Всегда приводите массы к а.е.м., а энергию получайте в МэВ через коэффициент 931.5. Это быстрее и точнее, чем работать с килограммами и джоулями.

3. Неверный учет периода полураспада. Формула $N = N_0 / 2^n$ работает только если время $t$ кратно периоду $T_{1/2}$ (где $n = t/T_{1/2}$ — целое число). В общем случае используйте степень с основанием 2 или экспоненту.

4. Забывание про закон сохранения импульса. При расчете кинетических энергий продуктов распада (например, $\alpha$-распад покоящегося ядра) нельзя просто поделить $Q$ поровну. Импульсы продуктов равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому более легкая частица уносит большую часть энергии.

FAQ

Как быстро перевести килограммы в а.е.м.? 1 а.е.м. $\approx 1.66 \cdot 10^{-27}$ кг. Обычно проще сразу брать массы из таблиц в а.е.м. или МэВ/$c^2$.

Что делать, если дана масса атома, а нужна масса ядра? $M_{ядра} = M_{атома} - Z \cdot m_e$. Однако для расчета $Q$-реакций часто удобнее использовать массы атомов, так как массы электронов сокращаются в левой и правой частях уравнения (кроме позитронного распада).

В чем разница между периодом полураспада и средним временем жизни? Среднее время жизни $\tau = 1/\lambda$. Оно связано с периодом полураспада как $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44 T_{1/2}$.

Как определить, какая частица испускается при распаде? Смотрите на изменение $Z$ и $A$:

• $\alpha$-распад: $A$ уменьшается на 4, $Z$ на 2 (вылетает ядро гелия).
• $\beta^-$-распад: $A$ не меняется, $Z$ увеличивается на 1 (вылетает электрон и антинейтрино).
• $\beta^+$-распад: $A$ не меняется, $Z$ уменьшается на 1 (вылетает позитрон и нейтрино).