Пошаговое решение уравнения x² − 6x = 16
Чтобы решить уравнение $x^2 - 6x = 16$, нужно привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, вычислить дискриминант и найти корни. Ответы: $x_1 = 8$ и $x_2 = -2$. Ниже приведен полный алгоритм действий с проверкой результата.
Шаг 1: Приведение к каноническому виду
Квадратное уравнение удобно решать, когда в правой части стоит ноль. Для этого перенесем число 16 из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:
$$x^2 - 6x - 16 = 0$$
Теперь уравнение имеет стандартный вид, где коэффициенты равны:
- $a = 1$ (коэффициент при $x^2$)
- $b = -6$ (коэффициент при $x$)
- $c = -16$ (свободный член)
Важно: При переносе слагаемого через знак равенства его знак всегда меняется на противоположный. Если бы мы оставили уравнение в виде $x^2 - 6x = 16$, формула дискриминанта применилась бы некорректно без предварительного преобразования.
Шаг 2: Вычисление дискриминанта
Дискриминант ($D$) показывает количество корней уравнения и используется для их нахождения. Формула: $$D = b^2 - 4ac$$
Подставим наши коэффициенты: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)$$
Выполним вычисления:
- $(-6)^2 = 36$
- $-4 \cdot 1 \cdot (-16) = -4 \cdot (-16) = +64$
- $D = 36 + 64 = 100$
Так как $D > 0$ (100 больше нуля), уравнение имеет два различных действительных корня.
Шаг 3: Нахождение корней
Корни квадратного уравнения находятся по формуле: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
Найдем квадратный корень из дискриминанта: $$\sqrt{100} = 10$$
Подставим значения в формулу: $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 10}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 10}{2}$$
Рассчитаем каждый корень отдельно:
-
Первый корень ($x_1$): $$x_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
-
Второй корень ($x_2$): $$x_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$
Итак, мы получили два кандидата на ответ: $8$ и $-2$.
Шаг 4: Проверка решения
Подстановка найденных значений в исходное уравнение $x^2 - 6x = 16$ позволяет убедиться в отсутствии арифметических ошибок.
Проверка для $x = 8$: $$8^2 - 6 \cdot 8 = 64 - 48 = 16$$ $16 = 16$ — верно.
Проверка для $x = -2$: $$(-2)^2 - 6 \cdot (-2) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$$ $16 = 16$ — верно.
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Альтернативный способ (Теорема Виета) Для уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$ можно подобрать корни устно. Сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a = 6$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = -16$. Числа 8 и -2 дают в сумме 6 и в произведении -16. Этот метод быстрее, но работает надежно только когда дискриминант является полным квадратом целого числа.
Частые ошибки при решении
| Ошибка | Почему возникает | Как избежать |
|---|---|---|
| Неверный знак при переносе | Забывают поменять знак у свободного члена (пишут $+16$ вместо $-16$). | Всегда проверяйте знак перед применением формулы дискриминанта. Справа должен быть 0. |
| Ошибка в квадрате отрицательного числа | Считают, что $(-6)^2 = -36$. | Помните: минус на минус дает плюс. Квадрат любого ненулевого числа положителен. |
| Потеря знака в формуле корней | Используют $b$ вместо $-b$ в числителе. | В формуле $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ знак перед $b$ всегда меняется на противоположный. Если $b=-6$, то $-b=6$. |
FAQ
Что делать, если дискриминант отрицательный? Если $D < 0$, квадратных корней из него в действительных числах не существует. В этом случае уравнение не имеет решений (корней) в множестве действительных чисел.
Можно ли решать это уравнение через выделение полного квадрата? Да. Преобразуем левую часть: $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$. Уравнение примет вид: $(x-3)^2 - 9 = 16 \Rightarrow (x-3)^2 = 25$. Отсюда $x-3 = 5$ или $x-3 = -5$, что также дает корни $8$ и $-2$.
Нужно ли писать ОДЗ для квадратных уравнений? Для полных квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$ область допустимых значений — все действительные числа ($\mathbb{R}$), поэтому явно указывать ОДЗ обычно не требуется, если нет дробей или корней переменной степени в исходной записи.