Как решить уравнение 2x² − 3x − 5 = 0

Корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $x_1 = 2,5$ (или $\frac{5}{2}$) и $x_2 = -1$. Уравнение решается классическим способом через дискриминант ($D=49$) или методом разложения на множители: $(2x - 5)(x + 1) = 0$. Ниже приведены подробные вычисления для обоих методов.

Решение через дискриминант

Это универсальный способ, подходящий для любых квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 1. Определим коэффициенты:

• $a = 2$
• $b = -3$
• $c = -5$

Шаг 2. Вычислим дискриминант ($D$): Формула: $D = b^2 - 4ac$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)$$ $$D = 9 - (-40)$$ $$D = 9 + 40 = 49$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Шаг 3. Найдем корни по формуле: Формула: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{49} = 7$.

Первый корень ($x_1$): $$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$$

Второй корень ($x_2$): $$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Разложение на множители

Разложить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ на множители можно по формуле: $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Подставим известные значения $a=2$, $x_1=2,5$ и $x_2=-1$:

$$2x^2 - 3x - 5 = 2(x - 2,5)(x - (-1))$$ $$2x^2 - 3x - 5 = 2(x - 2,5)(x + 1)$$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в скобке, внесём множитель $2$ в первую скобку. Для этого умножим $2$ на $(x - 2,5)$: $$2 \cdot (x - 2,5) = 2x - 5$$

Таким образом, окончательное разложение на множители с целыми коэффициентами выглядит так: $$(2x - 5)(x + 1) = 0$$

Проверка раскрытия скобок: $2x \cdot x + 2x \cdot 1 - 5 \cdot x - 5 \cdot 1 = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = 2x^2 - 3x - 5$. Верно.

Сравнение методов и проверка

Оба метода приводят к идентичному результату. Выбор способа зависит от контекста задачи:

1. Дискриминант — надежный алгоритм, когда корни неочевидны или являются иррациональными числами.
2. Разложение на множители — полезно для сокращения дробей в алгебраических выражениях или решения неравенств методом интервалов.

Проверка корней подстановкой

Убедимся, что найденные значения обращают исходное уравнение в ноль.

Для $x = -1$: $$2(-1)^2 - 3(-1) - 5 = 2(1) + 3 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$$

Для $x = 2,5$: $$2(2,5)^2 - 3(2,5) - 5 = 2(6,25) - 7,5 - 5 = 12,5 - 7,5 - 5 = 5 - 5 = 0$$

Частые ошибки

При решении подобных уравнений студенты часто допускают следующие промахи:

• Ошибка в знаках при подстановке в дискриминант. Забывают, что $b = -3$, и возводят в квадрат как $-3^2$ (получая $-9$), вместо $(-3)^2 = 9$. Также часто ошибаются при умножении $-4ac$: минус на минус дает плюс.
• Неверная запись разложения. После нахождения корней $2,5$ и $-1$ забывают про коэффициент $a=2$ перед скобками или неправильно вносят его внутрь, получая неверные множители, например $(x-5)(x+1)$.
• Путаница с теоремой Виета. При попытке устного подбора корней забывают, что сумма корней равна $-b/a$ ($3/2 = 1,5$), а произведение $c/a$ ($-5/2 = -2,5$).

FAQ

Можно ли решить это уравнение через теорему Виета? Да, но в «чистом» виде она применяется для приведенных уравнений ($x^2 + px + q = 0$). Разделив всё уравнение на 2, получим $x^2 - 1,5x - 2,5 = 0$. Подобрать два числа, дающие в произведении $-2,5$ и в сумме $1,5$, сложнее, чем посчитать дискриминант, поэтому метод Виета здесь менее удобен.

Что делать, если дискриминант не является полным квадратом? Если бы $D$ не был равен 49 (например, 50), корни остались бы в виде радикалов: $x = \frac{3 \pm \sqrt{50}}{4}$. Разложение на множители с целыми коэффициентами в таком случае было бы невозможным.

Где применяется разложение на множители? Чаще всего — при сокращении алгебраических дробей. Например, если бы данное уравнение стояло в числителе дроби, а в знаменателе было $(x+1)$, мы могли бы сократить скобку $(x+1)$, предварительно разложив числитель как $(2x-5)(x+1)$.