Алгоритм упрощения произведения корней и числа
Ответ на задачу: упрощённое значение выражения $\sqrt{7} \cdot 45 \cdot \sqrt{35}$ равно $315\sqrt{5}$.
Для получения этого результата необходимо объединить подкоренные выражения, разложить их на простые множители и вынести полные квадраты за знак корня. Ниже приведён детальный разбор каждого этапа решения, который поможет вам справиться с аналогичными задачами по алгебре.
Шаг 1: Группировка множителей под одним корнем
Исходное выражение содержит числовой множитель (45) и два квадратных корня ($\sqrt{7}$ и $\sqrt{35}$). Согласно свойству арифметического квадратного корня, произведение корней с одинаковыми показателями равно корню из произведения подкоренных выражений:
$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $$
Применим это правило к нашей задаче, оставив число 45 пока за пределами корня:
- Объединяем корни: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{7 \cdot 35}$.
- Вычисляем произведение под корнем: $7 \cdot 35 = 245$.
- Записываем промежуточный результат: $45 \cdot \sqrt{245}$.
Совет: Не спешите сразу перемножать большие числа. Часто удобнее сначала разложить множители на простые составляющие, чтобы увидеть скрытые квадраты. В данном случае $35 = 5 \cdot 7$, поэтому $7 \cdot 35 = 7 \cdot 5 \cdot 7$.
Шаг 2: Разложение на простые множители
Чтобы упростить $\sqrt{245}$, нужно найти в числе 245 множители, которые являются полными квадратами (числа, из которых можно извлечь целый корень).
Разложим 245 на множители:
- Число оканчивается на 5, значит, делится на 5: $245 \div 5 = 49$.
- Число 49 является квадратом числа 7: $49 = 7^2$.
Таким образом, разложение выглядит так: $$ 245 = 5 \cdot 7^2 $$
Подставляем это обратно в выражение: $$ 45 \cdot \sqrt{5 \cdot 7^2} $$
Шаг 3: Вынос множителя из-под знака корня
Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
- Представим корень как произведение: $\sqrt{5 \cdot 7^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{7^2}$.
- Извлекаем корень из квадрата: $\sqrt{7^2} = 7$.
- Получаем упрощённый вид корня: $7\sqrt{5}$.
Теперь вернём в выражение внешний множитель 45: $$ 45 \cdot (7\sqrt{5}) $$
Шаг 4: Финальное вычисление
Осталось перемножить числа, стоящие перед корнем: $$ 45 \cdot 7 = 315 $$
Итоговое выражение принимает вид: $$ 315\sqrt{5} $$
Проверка на дальнейшее упрощение: число 5 является простым и не содержит квадратных множителей, поэтому вынести что-либо ещё из-под корня невозможно. Решение завершено.
Сравнение подходов к решению
| Этап | Прямое перемножение | Разложение на множители (Рекомендуемый) |
|---|---|---|
| Действие | $7 \cdot 35 = 245$ | $7 \cdot (5 \cdot 7) = 5 \cdot 7^2$ |
| Анализ | Поиск квадратов в 245 | Видно сразу: $7^2$ |
| Риск ошибки | Высокий (сложнее увидеть 49) | Низкий (множители очевидны) |
Частые ошибки при упрощении корней
При решении подобных задач студенты часто допускают следующие ошибки:
- Сложение вместо умножения: Ошибочное мнение, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$. Помните, что под корнем множители перемножаются.
- Неполное извлечение корня: Если вы видите $\sqrt{245}$ и не замечаете множитель 49, вы можете попытаться делить на меньшие квадраты или оставить ответ в несокращённом виде. Всегда ищите наибольший квадратный множитель.
- Потеря внешнего множителя: При работе с выражением вида $k \cdot \sqrt{A}$ легко забыть умножить упрощённый корень на число $k$ (в нашем случае на 45).
FAQ
Можно ли было решить задачу иначе? Да, можно было сразу разложить все числа на простые множители до перемножения: $\sqrt{7} \cdot 45 \cdot \sqrt{5 \cdot 7} = 45 \cdot \sqrt{7 \cdot 5 \cdot 7} = 45 \cdot 7 \sqrt{5}$. Это часто быстрее, так как исключает работу с большими числами вроде 245.
Что делать, если под корнем остаётся большое число? Если после упрощения под корнем осталось составное число (не простое), проверьте его делимость на квадраты простых чисел: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д. Упрощение возможно только при наличии таких множителей.
Является ли $315\sqrt{5}$ окончательным ответом? Да. Поскольку 5 — простое число, его нельзя упростить дальше. Ответ записывается в виде произведения целого числа и иррационального множителя.