Как решить задание №1073 по алгебре за 8 класс
Задание №1073 в большинстве школьных учебников по алгебре для 8 класса (например, под редакцией Макарычева, Миндюк и др.) относится к теме «Квадратные уравнения» или «Рациональные дроби». Чаще всего оно требует решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета, либо упростить сложное алгебраическое выражение. Ниже представлен универсальный алгоритм решения таких задач с разбором типичных примеров, встречающихся под этим номером в разных изданиях.
Важно: Нумерация задач может отличаться в зависимости от года издания учебника. Если ваше задание выглядит иначе (например, это задача на движение или графики), используйте общие принципы решения, описанные в разделах ниже, адаптируя их под свои данные.
Тип 1: Решение квадратного уравнения
Если в задании №1073 дано уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, следуйте этому алгоритму.
Шаг 1. Приведение к стандартному виду
Убедитесь, что уравнение записано в виде $ax^2 + bx + c = 0$. Если скобки не раскрыты или члены перенесены, сделайте это сначала.
Пример: Дано: $(x - 2)(x + 3) = 4$ Раскрываем скобки: $x^2 + 3x - 2x - 6 = 4$ Приводим подобные: $x^2 + x - 6 = 4$ Переносим всё влево: $x^2 + x - 10 = 0$
Шаг 2. Вычисление дискриминанта
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Для уравнения $x^2 + x - 10 = 0$:
- $a = 1$
- $b = 1$
- $c = -10$
$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$$
Шаг 3. Нахождение корней
Если $D > 0$, уравнение имеет два корня: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
Подставляем значения: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$$
Если дискриминант является полным квадратом (например, 49, 144), корень извлекается целиком. Если нет (как 41 выше), ответ оставляют с радикалом $\sqrt{D}$, если в условии не требуется приближённое значение.
Тип 2: Упрощение рациональных выражений
Часто задание №1073 касается темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».
Алгоритм решения
- Разложите знаменатели на множители. Используйте формулы сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат суммы/разности).
- Найдите общий знаменатель. Это произведение всех уникальных множителей с наибольшей степенью.
- Приведите дроби к общему знаменателю. Домножьте числители на недостающие множители.
- Выполните действия в числителе. Раскройте скобки, приведите подобные.
- Сократите дробь. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, сократите их.
Пример: Упростить: $\frac{a}{a^2 - 4} - \frac{2}{a^2 + 2a}$
- Разложение знаменателей:
- $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$
- $a^2 + 2a = a(a + 2)$
- Общий знаменатель: $a(a - 2)(a + 2)$
- Дополнительные множители:
- Для первой дроби: $a$
- Для второй дроби: $(a - 2)$
- Преобразование: $$\frac{a \cdot a}{a(a - 2)(a + 2)} - \frac{2(a - 2)}{a(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 - (2a - 4)}{a(a - 2)(a + 2)}$$
- Упрощение числителя: $$a^2 - 2a + 4$$ Проверка на сокращение: числитель $a^2 - 2a + 4$ не раскладывается на множители, совпадающие со знаменателем.
Ответ: $\frac{a^2 - 2a + 4}{a(a^2 - 4)}$
Частые ошибки при решении
| Ошибка | Почему возникает | Как избежать |
|---|---|---|
| Потеря знака при переносе | Забывают менять знак члена при переносе через «=» | Подчёркивайте меняющиеся знаки карандашом |
| Ошибка в формуле дискриминанта | Путают $b^2 - 4ac$ с $b^2 + 4ac$ или забывают коэффициент 4 | Выучите формулу наизусть, проверяйте знак перед $4ac$ |
| Неверное раскрытие скобок | Забывают умножать каждый член в скобках | Пишите промежуточные шаги явно: $-2(a-2) = -2a + 4$ |
| Игнорирование ОДЗ | Забывают, что знаменатель не может быть равен нулю | Всегда пишите ограничения: $a \neq 0, a \neq 2, a \neq -2$ |
Ограничения (ОДЗ): При работе с дробями всегда указывайте, при каких значениях переменных выражение не имеет смысла (знаменатель равен нулю). В экзаменационных работах (ОГЭ) это часто является отдельным требованием.
Проверка результата
После получения ответа обязательно выполните проверку:
- Для уравнений: Подставьте найденные корни $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение. Левая часть должна равняться правой.
- Для выражений: Подставьте удобное числовое значение переменной (не входящее в ограничения) в исходное и полученное выражение. Результаты должны совпасть.
Пример проверки для уравнения $x^2 + x - 10 = 0$: Если бы мы нашли корень $x = 2$ (для примера): $2^2 + 2 - 10 = 4 + 2 - 10 = -4 \neq 0$. Значит, корень неверен.
FAQ
Что делать, если дискриминант отрицательный? Если $D < 0$, действительных корней у квадратного уравнения нет. В ответе так и пишется: «Корней нет» или $\emptyset$.
Как быстрее решать, если коэффициент $b$ чётный? Используйте формулу для чётного второго коэффициента: $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$. Тогда корни находятся по формуле $x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{D_1}}{a}$. Это упрощает вычисления.
Можно ли использовать теорему Виета? Да, если старший коэффициент $a = 1$ и дискриминант является полным квадратом. Теорема Виета позволяет подобрать корни устно: $x_1 + x_2 = -b$, $x_1 \cdot x_2 = c$. Однако для сложных случаев надёжнее использовать дискриминант.