ГДЗ по алгебре 7 класс: подробный разбор ключевых упражнений

Для успешного выполнения заданий №1115–1117 (стр. 222) необходимо уверенно владеть навыками преобразования целых выражений: раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и вынесения общих множителей. Задание №322 (стр. 79) обычно проверяет умение решать линейные уравнения или упрощать дроби. Ниже представлены алгоритмы решений и типовые примеры, соответствующие структуре этих упражнений в стандартных учебниках (например, под редакцией Макарычева или Мерзляка).

Разбор заданий №1115–1117 (Страница 222): Преобразование выражений

Эти номера расположены в конце курса и часто являются итоговыми задачами на тему «Преобразование целых выражений». Основная цель — научиться видеть структуру формул сокращенного умножения и грамотно применять их.

Задание №1115: Упрощение выражений с использованием формул

Типичная задача этого номера требует упростить выражение, содержащее квадраты суммы/разности или разность квадратов.

Алгоритм решения:

1. Раскройте скобки, используя формулы:
   • $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
   • $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
2. Приведите подобные слагаемые (сложите коэффициенты при одинаковых переменных).
3. Запишите окончательный ответ в стандартном виде многочлена.

Пример решения: Упростите выражение: $(x - 3)^2 - (x - 2)(x + 2)$.

1. Раскрываем квадрат разности: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
2. Раскрываем произведение разности и суммы: $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$.
3. Подставляем обратно, не забывая про знак минус перед второй частью: $$x^2 - 6x + 9 - (x^2 - 4)$$
4. Раскрываем вторые скобки (меняем знаки): $$x^2 - 6x + 9 - x^2 + 4$$
5. Приводим подобные: $x^2 - x^2 = 0$, $9 + 4 = 13$. Ответ: $13 - 6x$.

Задание №1116: Разложение на множители

В этом упражнении часто требуется представить многочлен в виде произведения множителей, используя группировку или вынесение общего множителя.

Ключевые приемы:

• Вынесение общего множителя: Ищите переменную или число, которое есть в каждом слагаемом.
• Группировка: Если общего множителя нет для всех членов, объедините их в пары так, чтобы в каждой паре можно было что-то вынести.

Пример решения: Разложите на множители: $3a^2 - 3b^2 + a^2 - b^2$ (условный пример структуры). Более сложный типичный пример: $x^3 - 4x^2 + 4x$.

1. Выносим общий множитель $x$: $$x(x^2 - 4x + 4)$$
2. Выражение в скобках — это полный квадрат: $(x - 2)^2$. Ответ: $x(x - 2)^2$.

Задание №1117: Доказательство тождеств или делимости

Задачи такого типа просят доказать, что значение выражения кратно определенному числу или не зависит от переменной.

Методика:

1. Упростите исходное выражение до максимально простого вида.
2. Проанализируйте результат:
   • Если переменные сократились, значит, значение не зависит от них.
   • Если остался множитель (например, $5(\dots)$), значит, выражение делится на 5.

Пример: Докажите, что значение выражения $(2n + 3)^2 - (2n - 3)^2$ кратно 24.

1. Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=2n+3$, $B=2n-3$.
2. $(2n + 3 - (2n - 3)) \cdot (2n + 3 + 2n - 3)$
3. Упрощаем скобки:
   • Первая: $2n + 3 - 2n + 3 = 6$
   • Вторая: $4n$
4. Произведение: $6 \cdot 4n = 24n$.
5. Так как $24n$ содержит множитель 24, выражение кратно 24 при любом целом $n$.

Разбор задания №322 (Страница 79): Линейные уравнения

Это задание находится в первой половине учебника и посвящено основам решения уравнений. Главная ошибка здесь — невнимательность со знаками при переносе слагаемых.

Типовая структура задачи №322

Обычно требуется решить уравнение вида: $$ax + b = cx + d$$

Пошаговое решение:

1. Раскрытие скобок. Если они есть, умножьте множитель на каждое слагаемое в скобках.
2. Перенос слагаемых. Все члены с $x$ перенесите в левую часть, числа — в правую. При переносе меняйте знак на противоположный.
3. Приведение подобных. Сложите коэффициенты при $x$ и свободные члены.
4. Нахождение корня. Разделите число из правой части на коэффициент при $x$.

Пример решения: Решите уравнение: $5(x - 2) = 3x + 4$.

1. Раскрываем скобку слева: $5x - 10 = 3x + 4$.
2. Переносим $3x$ влево (становится $-3x$), а $-10$ вправо (становится $+10$): $$5x - 3x = 4 + 10$$
3. Приводим подобные: $$2x = 14$$
4. Делим на 2: $$x = 7$$
5. Проверка: Левая часть: $5(7 - 2) = 5 \cdot 5 = 25$. Правая часть: $3 \cdot 7 + 4 = 21 + 4 = 25$. $25 = 25$. Верно.

Сравнение методов работы с разными типами задач

Частые ошибки учащихся

1. Ошибка знака при возведении в квадрат: $(a - b)^2$ часто ошибочно раскрывают как $a^2 - b^2$. Правильно: $a^2 - 2ab + b^2$. Средний член $-2ab$ терять нельзя.

2. Неполное раскрытие скобок: В выражении $2(x + 3)$ забывают умножить 2 на тройку, получая $2x + 3$. Правильно: $2x + 6$.

3. Деление на ноль: В задачах с дробями (если они встречаются в вариациях №322) всегда указывайте ОДЗ (область допустимых значений): знаменатель не должен быть равен нулю.

FAQ: Вопросы по домашнему заданию

В: Что делать, если после упрощения в №1115 все переменные сократились? О: Это нормальный результат. Если переменные исчезли, значит, значение выражения является константой и не зависит от ввода данных. Запишите полученное число как ответ.

В: Как проверить правильность разложения на множители в №1116? О: Выполните обратное действие — раскройте полученные скобки умножением. Если вы вернулись к исходному многочлену, решение верно.

В: Может ли уравнение №322 не иметь корней? О: Да. Если после приведения подобных вы получили неверное равенство вида $0 = 5$, то корней нет. Если получили $0 = 0$, то $x$ — любое число.

Итоговый совет

Для закрепления материала по страницам 79 и 222 рекомендуется прорешать 3–4 аналогичных примера самостоятельно, закрывая решение рукой. Особое внимание уделите знакам «минус» перед скобками — это источник 80% ошибок в алгебре 7 класса.